状態空間表現

状態空間表現とは入力と出力と状態変数を使った一階連立微分方程式で表した数学的モデルである。

\[ \begin{array}{lll} \dot{x}(t) &=& Ax(t) + Bu(t)\\ y(t) &=& Cx(t) + Du(t) \end{array} \]

可制御性

可制御性とは有限時間の入力で初期状態から任意の状態に変化させることができるかどうかを示すものである。以下を満たす時にシステムは可制御であるという。

\[ \rm{rank} \left[ B \space AB \space A^2B \cdots A^{n-1}B\right] = n \]

可観測性とはシステムの出力を観測することでシステムの内部状態を観測することができるかどうかを示すものである。以下を満たす時にシステムは可観測であるという。

\[ \rm{rank} \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix} = n \]

システムの生息行列によって同値変換しても基本的な性質は変化しない。中でも有名な正準形を紹介する

変換行列に可制御行列を使用して変換を行う。可制御性行列を\(U_c\)として

\[ \begin{array}{lll} \tilde{A} = U_c^{-1} A U_c \\ \tilde{B} = U_c^{-1} B \\ \tilde{C} = C U_c \\ \tilde{D} = D \end{array} \]

可制御正準形に対して可観測正準形は以下で与えられる。

\[ \begin{array}{lll} A_o = A_c^T \\ B_o = C_c^T \\ C_o = B_c^T \\ D_o = D_c \end{array} \]