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メカナム移動機構

図の右上のホイールについてメカナムホイールの樽の軸方向のみに力が作用することに注意すると

\[ v_1 \cos \frac{\pi}{4} = - \dot{x} \cos \frac{\pi}{4} + \dot{y} \cos \frac{\pi}{4} + l \dot{\theta} \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) \]

式整理して

\[ v_1 = - \dot{x} + \dot{y} + (a+b)\dot{\theta} \]

ここで右辺第3項の\(\dot{\theta}\)についての式変形について下記のようになる

\[ \frac{l \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right)}{\cos \frac{\pi}{4} } \dot{\theta}\\ \]

分子に加法定理を適用

\[ \begin{array}{cc} \frac{l \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right)}{\cos \frac{\pi}{4} } \dot{\theta} \\ \Leftrightarrow \frac{l \left\{ \cos \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \sin \alpha \sin \frac{\pi}{4} \right\}} {\cos \frac{\pi}{4} } \dot{\theta} \\ \Leftrightarrow \frac{l \left\{ \cos \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} \right\}} {\cos \frac{\pi}{4} } \dot{\theta} \\ \Leftrightarrow l \left( \cos \alpha + \sin \alpha \right) \dot{\theta}\\ \Leftrightarrow l \left( \frac{a}{l} + \frac{b}{l} \right) \dot{\theta}\\ \Leftrightarrow \left(a +b \right) \dot{\theta} \end{array} \]

4輪分を上記のように導出すると以下のようになる

\[ \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & (a+b) \\ -1 & -1 & (a+b) \\ 1 & -1 & (a+b) \\ 1 & 1 & (a+b) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{\theta} \end{bmatrix} \]

Note

Todo: 図を載せる

参考文献