データ駆動形コントローラチューニング

PID制御などでチューニングをする際に限界感度法やジーグラ・ニコルス法などによる調整や試行錯誤的に調整する方法がよく取られているが、このページでは一回の実験の入力信号と出力信号と望まれるフィードバックループの規範モデルを用いてチューニングを行う方法を説明する

前提

\(u_0\) 入力信号
\(y_0\) システムに\(u_0\)を与えたときの出力
\(T_d(s)\) チューニングするときの規範モデル
時定数0.5秒の1次遅れを規範モデルにする場合

\[ T_d(s) = \frac{1}{0.5s + 1} \]
\(C(s, \rho)\) コントローラ
\(\rho\)はコントローラのパラメータでPIDの場合\(\rho = (Kp, Ki, Kd)\)

Memo

Fictitious : 架空の

疑似参照信号\(\tilde{r}(s, \rho)\)を以下のように定義する

\[ \begin{array}{lll} \tilde{r}(s, \rho) = C^{-1}(s, \rho)u_0 + u_0 \\ J(\rho) = || y_0 - T_d(s)\tilde{r}(s, \rho) ||^2 \end{array} \]

以下の評価関数の最小化問題について最適化を行いコントローラのパラメータ\(\rho\)を求める

\[ \underset{\rho}{\text{min}} || y_0 - T_d(s)\tilde{r}(s, \rho) ||^2 \]

プレフィルタ\(L(s)\)と規範モデルから以下を定義

\[ \begin{array}{lll} u_f = L(s) u_0 \\ e_f = L(s) \left(\frac{1}{T_d(s)}y_0 - y_0 \right) \end{array} \]

以下の評価関数の最小化問題について最適化を行いコントローラのパラメータ\(\rho\)を求める

\[ \underset{\rho}{\text{min}} || u_f - C(s, \rho)e_f ||^2 \]

FRIT, VRFTともに\(u_0\),\(y_0\)は開ループ/閉ループのどちらで得ても問題ない

\(y0\)には十分に高い周波数までの特性を含んでいる必要がある。例えば\(y_0\)がsin波であり単一周波数の特性しか含まないとなるとチューニングが正しく行われない可能性が高い

PIDコントローラの場合、最適化の際にFRITでは非線形最適化を行う必要がある。VRFTでは最小二乗法で最適化を行うことができる

シンプルに\(L(s) = T_d(s)\)とすることでもチューニングは可能である